평균생산이 최대가 되는 조건은 MP와 AP가 같아질 때 맞을까요

평균생산이 최대가 되는 점은 MP와 AP가 같아지는 점이에요. 다만 그 점이 정말 최대인지는 MP가 줄고 있는지(MP′<0)를 따로 확인해야 해요. 생산함수 모양에 따라서는 최대점 자체가 없을 수도 있어요.

MP와 AP가 같아지면 AP가 변하지 않나요?

AP의 기울기가 0이 되는 점이라 최대나 최소 후보예요.

평균생산 AP는 Q를 L로 나눈 값이에요. 이를 L로 미분하면 AP′ = (MP − AP)/L이 나와요. MP가 AP보다 크면 평균이 오르고, 작으면 내려가요.

그래서 MP와 AP가 같아지는 점에서는 평균이 더 오르지도 내리지도 않아요. 그런데 이 점이 꼭대기인지 바닥인지는 식만으로는 알 수 없어요.

그 점이 최대인지 어떻게 확인하나요?

MP가 줄어드는 중이어야 최대예요.

AP′를 한 번 더 미분하면 AP″ = MP′/L이 돼요. MP와 AP가 같아지는 점에서 한계생산이 감소하고 있으면(MP′<0) 평균생산이 최대예요. 반대로 한계생산이 늘고 있으면 그 점은 최소예요.

예를 들어 총생산이 Q = 6L² − L³이면 AP = 6L − L², MP = 12L − 3L²예요. 두 값은 L = 3에서 9로 같아지고, 이때 MP′ = −6이라 평균생산 9가 최대예요.

왜 GPT는 틀렸다고 했을까요?

모든 생산함수가 역U자 모양은 아니기 때문이에요.

질문하신 방식은 초기에 평균생산이 늘다가 줄어드는 역U자 모양의 생산함수에서는 맞아요. 이 경우 MP가 AP의 꼭대기를 위에서 아래로 지나가요.

하지만 콥-더글라스 생산함수나 선형 생산함수는 평균생산이 계속 줄거나 계속 늘기만 하는 경우가 있어요. 이때는 MP와 AP가 만나는 극대점이 그래프 안에 없거나, 노동 투입이 0이나 끝에서 최대가 정해질 수 있어요.

생산함수의 모양을 먼저 확인해야 이 조건을 쓸 수 있어요.

MP와 AP가 만나도 최소가 되는 경우는 언제인가요?

MP가 AP를 아래에서 위로 뚫고 올라갈 때예요.

이 경우 두 값이 같아지는 순간 평균생산은 최대가 아니라 최소가 돼요. 그래서 MP와 AP가 같아진다는 사실만으로 최대라고 말하면 안 돼요.

미분값이 0이라는 1차 조건만으로는 최대인지 최소인지 정할 수 없어요. 2차 조건까지 확인해야 해요.