소비자가 소득 안에서 효용을 가장 크게 얻으려면 한계대체율(MRS)과 예산선 기울기의 크기가 같아야 해요. 수식으로는 MUx/MUy = Px/Py이고, 이는 두 재화를 살 때 들이는 돈 1원당 얻는 만족이 같아진다는 뜻이에요.
한계대체율과 예산선 기울기는 각각 무엇을 뜻하나요?
둘 다 두 재화를 바꿔 쓸 때의 비율이에요.
한계대체율(MRS)은 소비자가 느끼는 두 재화의 교환 비율이에요. X재를 한 개 더 얻으려고 포기해도 괜찮은 Y재의 양이죠. 수식으로는 MRS = MUx/MUy이고, 무차별곡선 기울기의 절댓값과 같아요.
예산선 기울기는 시장에서 정해진 교환 비율이에요. 소득을 M, 가격을 Px, Py라고 하면 예산선은 Px·X + Py·Y = M이고, 기울기의 절댓값은 Px/Py예요. X재 한 개를 사려면 실제로 Y재를 Px/Py개만큼 포기해야 한다는 뜻이에요.
효용을 예산선 위에서 미분하면 조건이 바로 나와요
예산선 위에서 효용이 더 늘지 않는 점이 조건이에요.
예산선을 따라 X를 조금 늘리면 Y는 Px/Py만큼 줄어들어요. 이때 dY/dX = −Px/Py예요. 이 Y를 효용함수에 넣고 X로 미분하면 dU/dX = MUx − MUy × Px/Py가 나와요.
효용이 가장 큰 점에서는 이 변화량이 0이어야 해요. 그래서 MUx − MUy × Px/Py = 0이고, 정리하면 MUx/MUy = Px/Py가 돼요. 왼쪽은 한계대체율, 오른쪽은 예산선 기울기의 절댓값이에요.
1원당 한계효용이 같아야 한다는 식으로도 볼 수 있어요
돈 1원당 얻는 만족이 두 재화에서 같아지는 점이에요.
MUx/Px = MUy/Py라는 식을 1원당 한계효용 균등의 법칙이라고 해요. 한계효용을 가격으로 나눈 값이 두 재화에서 같아야 효용이 극대화된다는 뜻이에요.
한쪽 재화의 1원당 만족이 더 크면, 그 재화를 조금 더 사고 다른 재화를 덜 사서 효용을 늘릴 수 있어요. 그래서 두 값이 같아질 때까지 옮겨 가다가 더 얻을 것이 없어지는 점이 최적이에요. 이 식을 정리하면 MUx/MUy = Px/Py가 되고, 앞의 조건과 같아요.
라그랑주 함수로 풀어도 같은 결과가 나와요
두 방법의 결론은 같아요.
효용을 U(X, Y), 제약을 M − PxX − PyY = 0이라고 하면 라그랑주 함수 L = U + λ(M − PxX − PyY)를 세울 수 있어요. X와 Y로 각각 편미분해서 0으로 두면 MUx = λPx, MUy = λPy가 나와요.
두 식을 나누면 MUx/MUy = Px/Py가 돼요. λ는 소득이 1원 늘 때 늘어나는 효용으로 이해하면 편해요.
계산 과정이 복잡하면 앞의 미분 방법부터 익혀도 충분해요.
자주 묻는 질문
한계대체율이 가격비보다 크면 X를 조금 더 사고 Y를 덜 사는 쪽으로 옮길 때 효용이 올라가요. 반대로 작으면 Y를 더 사는 쪽이 유리해요. 이렇게 옮기다 보면 두 값이 같아지는 점에서 효용이 가장 커져요.
무차별곡선과 예산선이 접한다는 것은 두 곡선의 기울기가 같다는 뜻이에요. 그래서 접점에서 한계대체율과 예산선 기울기가 같아져요. 접점은 예산 안에서 가장 높은 무차별곡선에 닿는 점이에요.
무차별곡선이 매끄럽고 원점에 볼록할 때는 이 접점 조건이 그대로 성립해요. 완전보완처럼 꺾인 무차별곡선이나 완전대체처럼 직선인 경우에는 한쪽 끝이나 꺾인 점에서 답이 나와서 이 식을 그대로 쓰면 안 돼요.